# 等时圆

最近学校老师讲了一下等时圆。先从这个题讲起：

在同一个地方向不同倾角光滑斜面用不同的初速度上滑，到达最高点所用时间相等，求最高点的轨迹是什么？

A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 圆

当时做这个题目的第一想法是把 x 和 y 座标表示出来：

[ \\frac{1}{2}gsin\\theta{}t^2=l, y=lsin\\theta, x=ycot\\theta ]

然后就傻眼了，并得不到 x 与 y 的关系式。当然了可以求出几个点，强行带入二次曲线通式求解。不过想了想还是用解析几何的方法去做吧：

[ \\frac{1}{2}gsin\\theta{}t^2=\\sqrt{x^2+y^2}, sin\\theta=\\frac{y}{\\sqrt{x^2+y^2}} ]

这么一代入，显然是圆。但既然这是物理题，可不可以用物理方法做呢？

可以，这就是等时圆。

啥叫等时圆？

等时圆就是，在一个光滑圆环上选择任意一点，让一个小球从这个点沿着光滑直杆到圆的最低点，无论这个点在哪里（最低点不算哈），时间都是一样的。怎么证明？

很简单：设小球与最低点连线与数值方向上夹角为$(\\theta)$，那么

[ s=2Rcos\\theta, \\frac{1}{2}gcos\\theta{}t^2=s ]

你会发现 t 与$(\\theta)$无关。证明完毕。

其实也可以倒过来：从圆的最高点往各个方向下滑，到达圆周时间相等。

好了，到此为止内容都没什么，但你会想问这和前面那道题目有什么关系呢？这怎么等时圆？重力往下诶。运动可是往右上方。

Here comes the black magic :)

我们考虑向下滑到最低点的那个等时圆，在这个圆周上滑倒最低点的时间都相等。好，我们把这个图沿着竖直方向旋转 180 度形成一个球，想想这个球上每一个点到最低点时间是不是也一样？那么考虑逆过程，让小球从斜面上滑下来，我对刚才的球体再竖着切一刀，得到的平面不就是题目中那个吗？得证。

当然了最好能有动画说明，限于本人时间问题暂时不提供 ^\_^