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抽象代数

\(G\) 是一个非空集合,在 G 上定义一个二元运算 \(*\)。如果满足封闭性和结合律,那么 \(G\) 是半群;如果满足封闭性、结合律和幺元,那么 \(G\) 是含幺半群;如果满足封闭性、结合律、幺元和逆元,那么 \(G\) 是群。

\(S\) 是群 \(G\) 的一个非空子集,若 \(S\)\(G\) 的运算也构成群,则称 \(S\)\(G\) 的一个子群(subgroup),记作 \(S \le G\)

\((G, *)\) 是一个群,\(H \le G, a \in G\),则 \(aH\) 称为 \(H\) 的一个左陪集(left coset),\(Ha\) 称为 \(H\) 的一个右陪集。

\(G\) 是群,\(H \le G\),若 \(\forall g \in G, gH=Hg\),则称 \(H\)\(G\) 的正规子群(normal subgroup),并记作 \(H \unlhd G\)

\(H \unlhd G\),那么左陪集和右陪集相等,\(G\) 关于 \(H\) 的陪集集合,记作 \(G/H\),这个集合关于子集乘法构成群,这就是 \(G\) 关于 \(H\) 生成的商群(quotient group)。

若群 \(G \ne \{e\}\)\(G\) 中除了平凡子群以外,没有其他的正规子群,则称 \(G\) 是单群(simple group)。所有的有限单群都已经找到。

\(G\) 是群,\(a, b \in G\),若存在 \(g \in G, gag^{-1}=b\),则称 \(a\)\(b\) 共轭。共轭是一个等价关系,类似于线性代数中的相似。从等价关系可以得到等价类,即共轭类,记作 \(K_a=\{gag^{-1}|g \in G\}\)

\(A\) 是一个非空集合,在 \(A\) 中定义两种二元运算,一种叫做加法,另一种叫做乘法,且满足

  • \((A,+)\) 是可换群:封闭性,结合律,幺元,逆元,交换律
  • \((A,*)\) 是半群:封闭性,结合律
  • 左右分配律成立:\(a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc\)

则称 \((A,+,*)\) 是一个环(ring)。如果 \((A,+,*)\) 对乘法也是可交换的,则称 \(A\) 为可换环。

\((A, +, *)\) 是环,若 \(A \ne \{0\}\),可交换,且无零因子,则称 \(A\) 是整环(domain)。

\(A\) 满足:

  • \(A\) 中至少有两个元 \(0\)\(1\)
  • \(A^*=A \backslash \{0\}\) 构成乘法群,即在半群的基础上,要求幺元和逆元存在

则称 \(A\) 是一个除环(division ring)。

\(A\) 是一个可换的除环,则称 \(A\) 是域(field)。

\((A, +, *)\) 是一个环,\(S\)\(A\) 的一个非空子集,若 \(S\)\(+\)\(*\) 也构成一个环,则称 \(S\)\(A\) 的一个子环(ring),\(A\)\(S\) 的一个扩环(extension ring)。

\(A\) 是一个环,\(I\) 是它的一个子环,对任意的 \(a \in I\) 和任意 \(x \in A\),若满足 \(xa \in I\),则称 \(I\)\(A\) 的一个左理想(left ideal);若满足 \(ax \in I\),则称 \(I\)\(A\) 的一个右理想(right ideal)。若同时满足 \(xa \in I, ax \in I\),则称 \(I\)\(A\) 的一个理想(ideal),称为 \(I\)\(A\) 是吸收的。

\((K, +, *)\) 是域,\(F\)\(K\) 的非空子集,且 \((F, +, *)\) 也是域,则称 \(F\)\(K\) 的子域(subfield),\(K\)\(F\) 的扩域(extension field),记作 \(F \le K\)

\(F\) 是域,若元素 \(1\)\((F, +)\) 中的阶数为素数 \(p\),则称 \(P\)\(F\) 的特征(characteristic);若元素 \(1\)\((F, +)\) 中的阶数为无穷大,则称 \(F\) 的特征为 \(0\)\(F\) 的特征记为 \(\textrm{ch}F\)

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