抽象代数
群
设 \(G\) 是一个非空集合，在 G 上定义一个二元运算 \(*\)。如果满足封闭性和结合律，那么 \(G\) 是半群；如果满足封闭性、结合律和幺元，那么 \(G\) 是含幺半群；如果满足封闭性、结合律、幺元和逆元，那么 \(G\) 是群。
设 \(S\) 是群 \(G\) 的一个非空子集，若 \(S\) 对 \(G\) 的运算也构成群，则称 \(S\) 是 \(G\) 的一个子群（subgroup），记作 \(S \le G\)。
设 \((G, *)\) 是一个群，\(H \le G, a \in G\)，则 \(aH\) 称为 \(H\) 的一个左陪集（left coset），\(Ha\) 称为 \(H\) 的一个右陪集。
设 \(G\) 是群，\(H \le G\)，若 \(\forall g \in G, gH=Hg\)，则称 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群（normal subgroup），并记作 \(H \unlhd G\)。
设 \(H \unlhd G\)，那么左陪集和右陪集相等，\(G\) 关于 \(H\) 的陪集集合，记作 \(G/H\)，这个集合关于子集乘法构成群，这就是 \(G\) 关于 \(H\) 生成的商群（quotient group）。
若群 \(G \ne \{e\}\)，\(G\) 中除了平凡子群以外，没有其他的正规子群，则称 \(G\) 是单群（simple group）。所有的有限单群都已经找到。
设 \(G\) 是群，\(a, b \in G\)，若存在 \(g \in G, gag^{-1}=b\)，则称 \(a\) 与 \(b\) 共轭。共轭是一个等价关系，类似于线性代数中的相似。从等价关系可以得到等价类，即共轭类，记作 \(K_a=\{gag^{-1}|g \in G\}\)
环
设 \(A\) 是一个非空集合，在 \(A\) 中定义两种二元运算，一种叫做加法，另一种叫做乘法，且满足
- \((A,+)\) 是可换群：封闭性，结合律，幺元，逆元，交换律
- \((A,*)\) 是半群：封闭性，结合律
- 左右分配律成立：\(a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc\)
则称 \((A,+,*)\) 是一个环（ring）。如果 \((A,+,*)\) 对乘法也是可交换的，则称 \(A\) 为可换环。
设 \((A, +, *)\) 是环，若 \(A \ne \{0\}\)，可交换，且无零因子，则称 \(A\) 是整环（domain）。
若 \(A\) 满足：
- \(A\) 中至少有两个元 \(0\) 和 \(1\)
- \(A^*=A \backslash \{0\}\) 构成乘法群，即在半群的基础上，要求幺元和逆元存在
则称 \(A\) 是一个除环（division ring）。
若 \(A\) 是一个可换的除环，则称 \(A\) 是域（field）。
设 \((A, +, *)\) 是一个环，\(S\) 是 \(A\) 的一个非空子集，若 \(S\) 对 \(+\) 和 \(*\) 也构成一个环，则称 \(S\) 是 \(A\) 的一个子环（ring），\(A\) 是 \(S\) 的一个扩环（extension ring）。
设 \(A\) 是一个环，\(I\) 是它的一个子环，对任意的 \(a \in I\) 和任意 \(x \in A\)，若满足 \(xa \in I\)，则称 \(I\) 是 \(A\) 的一个左理想（left ideal）；若满足 \(ax \in I\)，则称 \(I\) 是 \(A\) 的一个右理想（right ideal）。若同时满足 \(xa \in I, ax \in I\)，则称 \(I\) 是 \(A\) 的一个理想（ideal），称为 \(I\) 对 \(A\) 是吸收的。
域
设 \((K, +, *)\) 是域，\(F\) 是 \(K\) 的非空子集，且 \((F, +, *)\) 也是域，则称 \(F\) 是 \(K\) 的子域（subfield），\(K\) 是 \(F\) 的扩域（extension field），记作 \(F \le K\)。
设 \(F\) 是域，若元素 \(1\) 在 \((F, +)\) 中的阶数为素数 \(p\)，则称 \(P\) 为 \(F\) 的特征（characteristic）；若元素 \(1\) 在 \((F, +)\) 中的阶数为无穷大，则称 \(F\) 的特征为 \(0\)，\(F\) 的特征记为 \(\textrm{ch}F\)。