傅立叶变换

傅立叶级数

以 $P$ 为周期的周期函数 $s(x)$ 可以分解为一系列三角函数之和：

$$s(x)=A_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cos (\frac{2\pi nx}{P})+B_n\sin (\frac{2\pi nx}{P}))$$

为了计算系数 $A_n$ 和 $B_n$，在一个周期上计算如下积分：

$$\begin{array}{rl}{A}_0& =\frac{1}{P}{\int }_{P}s(x)\mathrm{d}x\\ A_n& =\frac{2}{P}{\int }_{P}s(x)\cos (\frac{2\pi nx}{P})\mathrm{d}x\\ B_n& =\frac{2}{P}{\int }_{P}s(x)\sin (\frac{2\pi nx}{P})\mathrm{d}x\end{array}$$

实际上是在计算 $s(x)$ 在由 $\cos (\frac{2\pi nx}{P})$ 和 $\sin (\frac{2\pi nx}{P})$ 组成的正交函数集上的分解。定义正交之前，首先需要定义内积：两个函数的内积定义为在一个周期上两个函数的乘积的积分：

$$(f\cdot g)(x)={\int }_{P}f(x)g(x)\mathrm{d}x$$

需要注意 $A_0$ 项的系数中分子是 1，其余项的系数中分子是 2。这个系数可以用内积来计算出来。

根据欧拉公式：

$$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$$

可得

$$\begin{array}{rl}\cos (x)& =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ \sin (x)& =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\end{array}$$

带入到傅立叶级数展开式：

$$\begin{array}{rl}s(x)& =A_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cos (\frac{2\pi nx}{P})+B_n\sin (\frac{2\pi nx}{P}))\\ & =A_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\frac{e^{\frac{2\pi nxi}{P}}+e^{\frac{-2\pi nxi}{P}}}{2}+B_n\frac{e^{\frac{2\pi nxi}{P}}-e^{\frac{-2\pi nxi}{P}}}{2i})\\ & =A_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}((\frac{A_n-B_{n}i}{2})e^{\frac{2\pi nxi}{P}}+\frac{A_n+B_{n}i}{2}{e}^{\frac{-2\pi nxi}{P}})\end{array}$$

记 $F_n=\frac{A_n-B_{n}i}{2}$，把 $A_n$ 和 $B_n$ 的定义延拓到 $n$ 为负数，发现：

$$\begin{array}{rl}{A}_{-n}& =\frac{2}{P}{\int }_{P}s(x)\cos (\frac{-2\pi nx}{P})\mathrm{d}x=A_n\\ B_{-n}& =\frac{2}{P}{\int }_{P}s(x)\sin (\frac{-2\pi nx}{P})\mathrm{d}x=-B_n\end{array}$$

再带入傅立叶展开式，得到

$$\begin{array}{rl}s(x)& =A_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}((\frac{A_n-B_{n}i}{2})e^{\frac{2\pi nxi}{P}}+\frac{A_n+B_{n}i}{2}{e}^{\frac{-2\pi nxi}{P}})\\ & =A_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}((\frac{A_n-B_{n}i}{2})e^{\frac{2\pi nxi}{P}}+\frac{A_{-n}-B_{-n}i}{2}{e}^{\frac{2\pi (-n)xi}{P}})\\ & =A_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}((\frac{A_n-B_{n}i}{2})e^{\frac{2\pi nxi}{P}})+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{A_{-n}-B_{-n}i}{2}{e}^{\frac{2\pi (-n)xi}{P}})\\ & =A_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}((\frac{A_n-B_{n}i}{2})e^{\frac{2\pi nxi}{P}})+\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{-1}(\frac{A_n-B_{n}i}{2}{e}^{\frac{2\pi nxi}{P}})\end{array}$$

记 $F_0=A_0$，那么上式可以写成：

$$s(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_n{e}^{\frac{2\pi nxi}{P}}$$

其中 $F_0=A_0=\frac{1}{P}{\int }_{P}s(x)\mathrm{d}x$，同时：

$$\begin{array}{rl}{F}_n& =\frac{A_n-B_{n}i}{2}=\frac{1}{2}(\frac{2}{P}{\int }_{P}s(x)\cos (\frac{2\pi nx}{P})\mathrm{d}x-\frac{2}{P}{\int }_{P}s(x)\sin (\frac{2\pi nx}{P})i\mathrm{d}x)\\ & =\frac{1}{P}{\int }_{P}s(x)e^{\frac{-2\pi nxi}{P}}\mathrm{d}x\end{array}$$

这个通项公式对 $n=0$ 也成立。因此复指数形式的傅立叶系数为：

$$\begin{array}{rl}s(x)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_n{e}^{\frac{2\pi nxi}{P}}\\ F_n& =\frac{1}{P}{\int }_{P}s(x)e^{\frac{-2\pi nxi}{P}}\mathrm{d}x\end{array}$$

傅立叶变换

傅立叶级数：对周期函数的分解。

非周期函数，可以看成是周期无穷大的周期函数，也就是 $P\to \mathrm{\infty }$。但是这样计算出来的 $F_n$ 也趋向于零。如果去掉系数 $\frac{1}{P}$，把积分上下限替换为正负 $\mathrm{\infty }$，进行代换 $\xi =\frac{n}{P}$，就可以把傅立叶级数：

$$F_n=\frac{1}{P}{\int }_{P}s(x)e^{\frac{-2\pi nxi}{P}}\mathrm{d}x$$

变成傅立叶变换 Fourier Transform：给定 $f(x)$，傅立叶变换得到 $\hat{f}(\xi )$

$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-2\pi i\xi x}\mathrm{d}x$$

Inverse Fourier Transform：给定 $\hat{f}(\xi )$，傅立叶逆变换得到 $f(x)$

$$f(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(\xi )e^{2\pi i\xi x}\mathrm{d}\xi$$

另一种傅立叶变换的表示形式，把 $2\pi \xi$ 换元为 $\omega$：

$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-i\omega x}\mathrm{d}x$$

$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}\mathrm{d}\omega$$

注意逆变换多了一个系数 $\frac{1}{2\pi }$。如果希望保持对称性，可以在正变换的时候也乘一个系数 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$：

$$\hat{f}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-i\omega x}\mathrm{d}x$$

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}\mathrm{d}\omega$$

傅立叶级数和傅立叶变换的对比

傅立叶级数：

• 针对周期函数
• 离散的频率
• 得到频率分量上的数值

傅立叶变换：

• 针对非周期函数
• 连续的频率
• 得到频率分量上的密度

采样

理想采样是在时域上，以固定的采样间隔 $T$ 对信号进行采样，相当于是给信号乘以一个冲激串函数（Dirac comb） $p(t)$。在时域上乘法，等价于频域上做卷积。冲激串函数 $p(t)$ 在频域上是 $P(\omega )$，它依然是一个冲激串：

$$p(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$$

$$P(\omega )=\frac{2\pi }{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega -\frac{2\pi }{T}n)$$

注：根据傅立叶变换的形式不同，这里的系数可能不完全一样，例如可能没有 $2\pi$ 的因子。

因此理想采样在频域上相当于是对信号的频域以 $2\pi /T$ 为周期进行周期性延拓。

周期性延拓的时候，可能会出现频谱的混叠现象。如果发生了混叠，那么就无法从采样后的信号恢复出原始信号。为了不发生混叠，需要保证采样间隔满足 Nyquist 采样定理。

如果没有发生混叠，可以采用理想低通滤波器，去掉周期性延拓出来的多余频谱，恢复出采样前的原始信号。

离散时间傅立叶变换

离散时间傅立叶变换（DTFT）是傅立叶变换的离散时间版本：时域上是离散的。频域依然是连续的。离散时间傅立叶变换是傅立叶变换的特殊形式，它把一个离散的无限长序列 $x[n]$，对应到单位时间周期的冲激串函数的幅度上，得到 $f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]\delta (t-n)$，再进行傅立叶变换：

$$\begin{array}{rl}\hat{f}(\omega )& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]\delta (t-n))e^{-i\omega t}\mathrm{d}t\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-i\omega n}\end{array}$$

为了简化，直接要求冲激串函数的周期为 1，这样就把采样率归一化了。

如果限定离散序列 $x[n]$ 为有限长度，那么相当于对时域乘以一个矩形窗。假设有限的长度为 $L$，也就是 $n$ 的取值范围从所有整数缩小到 $\{0,1,\cdots ,L-1\}$，那么有限长度离散序列的离散时间傅立叶变换为：

$$X_{2\pi }(\omega )=\sum _{n=0}^{L-1}x[n]e^{-i\omega n}$$

离散傅立叶变换

离散傅立叶变换（DFT）是在离散时间傅立叶变换的基础上，在频谱上 $[0,2\pi )$ 频率范围内均匀地取 $N$ 个点的值。也就是说，把上式的 $\omega$ 替换为 $\frac{2\pi k}{N}$，就得到了离散傅立叶变换的公式：

$$X_k=\sum _{n=0}^{L-1}{x}_n{e}^{-i\frac{2\pi k}{N}n}$$

通常会让 $N$（频域上点的个数）等于 $L$（时域上点的个数）。

参考

• https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
• https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
• https://en.wikipedia.org/wiki/Sampling_(signal_processing)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem

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