Many Facet Rasch Model
定义：
- \(P_{nijk}\) 是考官 j 针对题目 i 给考生 n 打 k 分的概率
- \(P_{nij(k-1)}\) 是考官 j 针对题目 i 给考生 n 打 k-1 分的概率
- \(B_n\) 是考生 n 的能力
- \(D_i\) 是题目 i 的难度
- \(C_j\) 是考官 j 的严格程度
- \(F_k\) 是评分从 k-1 增加到 k 的难度
完全交叉：J 个考官，对 N 个考生做的 I 个题目，给出了 \(J*N*I\) 个打分，打分范围是 0 到 K。目标：求解上述各数。
JMLE
JMLE 求解算法：初始化各参数，得到一系列的 \(P_{nijk}\)，根据实际的打分，计算出似然概率，然后优化参数，使得似然概率极大化。
先考虑简单情形：K=1，此时打分只有 0 和 1 两种情况。此时：
所以：
假如实际上有两个考生，两个考官，两个题目，已知得分情况如下：
| 考生 | 题目 | 考官 | 得分 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
那么目标就是最大化 \(P_{0001}P_{0011}P_{0100}P_{0110}P_{1001}P_{1010}P_{1100}P_{1111}\)。
因为 \(K=1\)，只有一种 \(F_k\)，所以 \(F_1\) 是常数项，直接让它等于 0。
如果所有 \(B_n\) 同时增加一个数 \(c\)，同时 \(D_i\) 或 \(C_j\) 增加同一个数 \(c\)，概率不变。所以为了避免无穷多组解，添加约束：\(\Sigma_n{D_i} = 0, \Sigma_j{C_j} = 0\)。
因为最大化目标是个乘积，不方便计算，对它求对数，就得到了 \(\log P_{0001}+\log P_{0011}+\log P_{0100}+\log P_{0110}+\log P_{1001}+\log P_{1010}+\log P_{1100}+\log P_{1111}\)，成为新的最大化目标。
已知：
设 \(L_{nij}=B_n - D_i - C_j - F_1 = B_n - D_i - C_j\)，那么：
设 \(s_{nij} \in \{0,1\}\) 即考生 n 在题目 i 被考官 j 打的实际得分，那么极大化目标里，每一项的表达式就是：
即 \(s_{nij}=0\) 时等于 \(\log(P_{nij0})\)，\(s_{nij}=1\) 时等于 \(\log(P_{nij1})\)。上式可以化简：
有了这个优化目标以后，就可以对 \(B_n, D_i, C_j\) 求偏导，通过多次迭代来最大化对数极大似然。
比如每一项对 \(B_n\) 求导：
类似地，每一项对 \(D_i\) 或 \(C_j\) 求导：
上述数据，迭代出来的结果是：
- 考生能力 B：\(B_0=0.00000, B_1=0.00000\)
- 题目难度 D：\(D_0=-1.09861, D_1=1.09861\)，这个数刚好等于 \(\ln(3)\)
- 考官严厉度 C：\(C_0=0.00000, C_1=-0.00000\)
得到的结论就是，两个考生的能力相同，考官的严厉程度相同，但题目难度不同，题目 1 比题目 0 更难。